2026 届川大数学预推免真题解析 | 微分不等式构造函数证唯一性

🔴 题目背景

这是 2026 年四川大学数学学院预推免的真题，出自常微分方程或数学分析的范畴。原帖作者提到这是讲义原题，常规解法是迭代法，但这里给了一个更简洁的构造函数方法。我当年备考时也刷到过类似的微分不等式证明题，核心思路都是构造合适的辅助函数把条件"塞"进去。

🔵 题目条件拆解

设 $f\in D^{2}\left( -1,1 \right)$ 满足

• $f(0) = f'(0) = 0$（初始条件，函数和导数在原点都为零）
• $|f''(x)| \leqslant |f(x)| + |f'(x)|$（二阶导被一阶和零阶控制）

证明： $f(x) = 0, \forall x \in (-1,1)$

这个条件的意思是：如果函数及其导数都很小，那么它的"加速度"也很小。直觉上应该能推出函数恒为零，但需要严格证明。

🟡 核心技巧：构造 $g(x) = e^{-4x}\left(f^2(x) + [f'(x)]^2\right)$

为什么这样构造？我拆解一下思路：

• $e^{-4x}$ 是衰减因子，用来压制后面的增长
• $f^2 + (f')^2$ 把函数和导数"捆"在一起，方便利用题目的控制条件
• 系数 4 是调出来的，要保证求导后不等式能闭合

🔴 求导与放缩（关键步骤）

计算 $g'(x)$ 并代入条件 $|f''| \leqslant |f| + |f'|$：

$$\begin{aligned}g'(x) &= e^{-4x}\left(2ff' + 2f'f'' - 4f^2 - 4(f')^2\right) \ &\leqslant e^{-4x}\left(2|ff'| + 2|f'|(|f|+|f'|) - 4f^2 - 4(f')^2\right) \ &= e^{-4x}\left(2|ff'| + 2|f'f| + 2(f')^2 - 4f^2 - 4(f')^2\right) \ &\leqslant e^{-4x}\left(2f^2 + 4(f')^2 - 4f^2 - 4(f')^2\right) \ &= -2e^{-4x}f^2 \leqslant 0\end{aligned}$$

这里用了 $|ff'| \leqslant \frac{1}{2}(f^2 + (f')^2) \leqslant f^2 + (f')^2$ 之类的放缩，具体系数 4 保证了最后能消干净。

🟢 收尾：单调性 + 初值

由 $g'(x) \leqslant 0$ 知 $g$ 在 $[0,1)$ 单调不增，所以：
$$0 \leqslant g(x) \leqslant g(0) = e^0 \cdot (0 + 0) = 0$$

故 $g(x) \equiv 0$ 在 $[0,1]$，即 $f \equiv 0$。对 $x<0$ 考虑 $g(-x)$ 同理。

⚠️ 备考建议

• 这类题是川大风格：微分不等式 + 辅助函数构造，建议刷谢惠民《数学分析习题课讲义》或裴礼文的类似章节
• 系数要调：构造时 $e^{\lambda x}$ 的 $\lambda$ 和前面的组合系数需要匹配，草稿纸上多试几次
• 迭代法是备胎：如果构造法想不出来，用 Picard 迭代或 Gronwall 不等式也能做，但书写量大很多