我硕博连读第四年，但说实话前三年基本没碰过科研。真正的起点是 2024 年春季导师开的《几何分析选讲》，课上讲的谱图理论、热核分析、Bakry-Emery 曲率、Ollivier-LLY 曲率，后来全成了我的研究主线。
🔴 第一个结果：MNHD 问题
课上老师讲热核理论时顺带提到 Peres 提出的一个问题：找一大类图让函数 t ↦ r_t(u,v) := H_t(u,v)/H_t(u,u) 单调。前人的结果覆盖了交换 Cayley 图、仅有 3 个不同特征值的图、仅有 4 个不同特征值的正则二部图。
我当时就想：这题我听得懂，看上去没门槛，可操作。但我完全不懂图论，不知道哪些图重要、哪些图可算。运气特别好（我科研一直运气特别好），认识了 Koolen 老师的一个博士生，他说代数图论很关心经典参数的距离正则图，直径为 3 的情形要是能验证 MNHD 会很有意思。
我那时候根本不懂经典群、李群这些背景，只想着快点出文章保底毕业。硬啃 【BCN89】 那本距离正则图的经典教材，经历了很多挫折（事后看是自己犯蠢，但确实提升了数学能力），终于证出来了。
给导师说证明出来的时候，他回了一个大大的 Congratulations！ 我能感觉到他是真的开心。决定回家摆烂几天，刚到高铁站，导师发消息问：直径为 3 的经典参数的距离正则图会不会包含于交换 Cayley 图？
我瞬间慌了。万一是的话，好几个月白忙。想了很久确实不会证"存在一个不包含的"。最后问了 Koolen 老师那位博士生，他说 【VK05】 构造的例子能说明这件事。那篇文章只有 5 页，发在四大，我第一次知道短论文也能有深刻内容。
这个结果确实是新的。
🔵 第二个结果：Lin-Lu-Yau 曲率猜想
2024 年暑假。参数为 (4γ+1, 2γ, γ, γ-1) 的强正则图，猜想其 Lin-Lu-Yau 曲率为 κ(x,y) = 1/2 + 1/(2γ)。
这题很坑：第一，这种强正则图的存在性都不知道，和 Hadamard 猜想相关；第二，算特例比如 Paley 图，代数结构特别眩晕。
我当时科研热情特别高，想：就算不知道存在性，能不能用局部结构证完美匹配？但我图论太菜了，数数完全数不明白。于是迈出科研最重要的一步：找合作者。
认识了一个特别聪明、从小学竞赛的学弟。他先用概率方法证明了对充分大的 γ 成立；后来改进方法，把 4 个区域的公共邻居数做成关于总边数的二次下界，排除 Hall 定理的违背情形，只需逐个验证 γ = 2,3,4,5,6。
我大受震撼。这么困难的问题，就这样解决了？意识到和不同方向的人合作很好。但不好的事（也可能是好事）：让我确定自己不属于图论这个学科。再学也比不过天生聪明的人。
开始有意识地学更多分析而非图论的东西。
🟡 第三个结果：充分正则图的直径估计
代数图论的一个公开问题：参数为 (n,d,α,β) 的充分正则图，能否估计直径上界？起源是 Terwilliger 【T83】，动机也包括 Koolen 老师对 Bannai-Ito 猜想的证明 【BDKM15】。
导师和合作者发现离散曲率工具可能有效，因为类似黎曼几何的 Bonnet-Meyers 定理，直径估计被约化为估计离散曲率的一致正下界。他们用 Lin-Lu-Yau 曲率做成了。
我当时觉得不可思议：图上的几何分析这么抽象，怎么能对实际图论问题有效？但心里自然想问：Bakry-Emery 曲率，我能比导师做得更好吗？
不太自信。Lin-Lu-Yau 至少还很"组合"，Bakry-Emery 已经是纯分析了。给导师说了想法，他说师姐也在考虑，让我们多讨论。
师姐已经算了很多具体例子，但她关心的是强正则图曲率是否一定为正，比直径估计更难。然后……这个问题很容易地基于导师以前文章的想法做出来了！
远远看去很困难的问题，隔得近一些，其实能做得很好。学弟后来改进了 Lin-Lu-Yau 的直径估计结果，有时比 Bakry-Emery 好、有时差。我们又合作了一篇文章。
🔴 第四、五个结果：椭圆方程与色散估计
2025 年初，我已经比较排斥图论了。师兄请我吃饭，建议去做图上分析和方程的问题。
第四个问题是有限图上椭圆方程的解的存在性和多解问题，典型非线性分析：先验估计、拓扑度良定、无穷维 Morse 理论。但这完全没用到组合结构，照搬欧氏空间理论、甚至更简单，不符合我的审美。
致力于找图设定下更复杂的问题。第五个问题是离散薛定谔方程的色散行为。
欧氏空间 ℝᵈ 上的 L¹ → L∞ 估计简单但重要，Keel-Tao 论证得 Strichartz 估计。格点 ℤᵈ 上的 l¹ → l∞ 估计也很重要，但色散速度比欧氏空间差。
有趣现象：葛老师、华老师及合作者 2025 年的工作【GHJZ25】 发现，ℤ² 加一条斜对角线，色散速度比 ℤ² 更快。
作为练习题，我和做调和分析的同学合作计算加两条斜对角线的情形。要估计一个看起来很简单的 phase 函数的振荡积分，最后约化为 Thom 奇点分类的 7 个基本类别（或用牛顿多面体找适配坐标系）。
实际计算时，把我和合作者都算自闭了。发誓以后尽量不找过于复杂的计算题当练习题。当时并不知道这套理论的边界，只知道算算算。后面和 Ikromov 老师 讨论才知道适用范围和好处。
🔵 第六、七个结果：可观测性与拟周期位势
2025 年 10 月。合作色散衰减的同学关心薛定谔方程的唯一确定问题，注意到 黄-汪-王【HWW22】 关于 ℝ 上可观测集与 thick 集等价的结果，问能不能在 ℤ 上建立对应结果。
我以为是学他们的办法平推，但这个问题和欧氏空间很不一样，很依赖于 ℤ 上子集的算术结构。
利用采样理论得 Logvinenko-Sereda 型不确定原理；用泛函框架证明厚度 ≥ 1/2 的集合总是某时间可观测的。用遍历论方法证明总存在厚度 < 1/2 的集合是任意时间不可观测。用 Floquet 理论 证明总存在任意厚度 > 0 的任意时间可观测集合。
这种结果很符合我的数学审美。还建立了 ℤᵈ 的外部观测性和离散环面大密度不可观测集的构造。
第七个问题前些天才上传 arxiv。查文献时注意到 ℤ 上拟周期薛定谔算子是很重要的理论，问：拟周期薛定谔算子的色散方程，能否得到对应色散估计？
得益于 赵老师【Z16】【BZ20】 用 KAM 迭代方法建立的 Reducibility of Schrodinger Cocycle 理论框架，确实能拿到 ℤ 上带拟周期位势 Klein-Gordon 方程的色散估计。快放寒假了，一起学动力系统相关知识完成的。
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