我当年没报上交数院，但这套题在保研群里传得很广。3 小时 100 分，数分高代各 50 分，题量极大，能做完的基本是神仙。
🔴 数学分析部分（5 题 × 10 分）
第 1 题：比值极限与收敛速度
设 ${a_n}$ 满足 $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = l$，若 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n = a$ 存在，证 $|l|\le 1$。
这题我第一眼想反证。若 $|l|>1$，则 $|a_{n+1}|$ 最终会比 $|a_n|$ 大一个固定比例，数列不可能收敛到有限值。但要严格写：设 $|l|>1$，取 $\epsilon$ 使得 $|l|-\epsilon>1$，则存在 $N$，当 $n>N$ 时 $|a_{n+1}|>(|l|-\epsilon)|a_n|$，递推得 $|a_n|$ 指数增长，与有极限矛盾。
第 2 题：含参积分求导
$g(x) = \int_0^1 f(xt)\mathrm{d}t$，求 $g'(x)$ 并讨论 $x=0$ 处连续性。
换元 $u=xt$ 得 $g(x)=\frac{1}{x}\int_0^x f(u)\mathrm{d}u$（$x\neq 0$），再求导。$x=0$ 处连续性要单独验证，我算的时候漏了 $g(0)=f(0)$ 这个定义，差点翻车。
第 3 题：中值定理构造
$f$ 在 $[a,b]$ 可导，存在 $c$ 使 $f'(c)=0$，证存在 $\xi$ 使 $f'(\xi) = (f(\xi)-f(a))(b-a)$。
这题构造辅助函数。我考场上的思路：设 $F(x) = f'(x) - (f(x)-f(a))(b-a)$，想证 $F$ 有零点。但条件给的是 $f'(c)=0$，不是 $F$ 的零点，要重新调整构造。标准做法是设 $g(x) = e^{-(b-a)x}(f(x)-f(a))$，用罗尔定理。
第 4 题：函数项级数
$S(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n e^{-nx}}{n+x^2}$，三问：定义域、连续性、无穷极限。
定义域要 $n+x^2\neq 0$ 对所有 $n$ 成立，即 $x^2\neq 0,-1,-2,...$，所以 $x\neq 0$。连续性用一致收敛，$x\to+\infty$ 时 $e^{-nx}$ 衰减，逐项趋于 0，但要证一致收敛才能换极限号。这题我第三问当时没写完，时间太紧。
第 5 题：格林公式与调和函数
(1) 第一格林恒等式，分部积分直接来。(2) 调和函数的积分表示，要用到基本解 $\frac{1}{4\pi|p-p_0|}$。这题第二问我完全没复习到，考场现推，最后只写了第一问。
🔵 高等代数部分（5 题 × 10 分）
第 6 题：对角占优矩阵
(1) 严格对角占优则满秩，反证：若不满秩则 $Ax=0$ 有非零解，取 $|x_i|$ 最大分量导出矛盾。(2) 正对角线且对角占优，证行列式为正。用连续性：$A(t) = tD + (1-t)A$，$t\in[0,1]$，$D$ 为对角元组成的对角阵，$A(0)=A$，$A(1)=D$ 正定，中间无零点。
第 7 题：Lyapunov 方程
$AX+XA=B$，$A,B$ 正定，证唯一解 $C$ 也正定。
这题我没见过标准结论，但知道用 Kronecker 积或谱分解。$A$ 正定可正交对角化，设 $A=Q\Lambda Q^T$，令 $\tilde{X}=Q^TXQ$，方程化为 $\Lambda\tilde{X}+\tilde{X}\Lambda = \tilde{B}$，分量形式解出 $\tilde{x}{ij} = \tilde{b}{ij}/(\lambda_i+\lambda_j)>0$。唯一性由系数矩阵正定保证，$C$ 正定要验对称性和正定性。
第 8 题：有理标准型
极小多项式 $m(x)=x^3+x-3$，6 维空间，求特征多项式和有理标准型。
关键：极小多项式不可约（有理系数上 $x^3+x-3$ 无一次因子）。所以特征多项式是 $m(x)^2$（因为 $\deg m=3$，$3\times 2=6$）。有理标准型就是两个友矩阵块直和，每个块对应 $m(x)$。
第 9 题：多项式根的个数
(1) Mason-Stothers 定理的弱化版，$f+g=h$ 则 $\max\deg \le \mathrm{rad}(fgh)-1$。(2) Fermat 大定理的多项式版本，$n\ge 3$ 时无非常数解。
这题第 (2) 问我完全不会，后来查是 Mason-Stothers 定理直接推论。考场上我只证了 $n=1,2$ 确实有解。
第 10 题：矩阵秩不等式
$A+B+AB=O$，证 $\mathrm{rank}(A^2)+\mathrm{rank}(B^2)\ge 2\mathrm{rank}(AB)$。
条件改写为 $(I+A)(I+B)=I$，即 $I+A$ 与 $I+B$ 互逆。设 $P=I+A$，则 $B=P^{-1}-I$，代入化简。或者用 Frobenius 秩不等式，我考场没化简出来，最后只写了显然的估计。
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